Оценка опционов
В последнее время я нехило откосил от одной из своих основных обязанностей в рамках блога - а именно от написания постов об экономике. У меня есть на то объективные причины (я женюсь через месяц), но все равно руки чешутся, а совесть грызет
И сегодня я буду писать о штуке, которая буквально вынесла мне мозг, когда я первый раз о ней думал :) эта штука - оценка опционов.
Опционами называют много чего, но суть всегда одна: название идет от слова option - то есть возможность выбора. К примеру, может существовать годовой опцион на покупку золота по цене $100 за унцию. Это значит, что через год у вас будет возможность купить золото по $100 за унцию (продавец опциона обязан продать его вам по этой цене). Само собой, вы воспользуетесь этой возможностью только в том случае, если цена на золото через год будет больше $100 (тогда покупка его по $100 и последующая продажа для вас будет прибыльной). Но очевидно, что сама эта возможность стоит денег, правда? Легко придумать и близкий к покерной тематике: представьте, что вы подходите к абсолютно неизвестному мтт-игроку, который играет фрироллы и турниры по $1 и просите у него, чтобы он дал вам возможность покупать доли на любые его турниры по 1.15 через десять лет. Казалось бы, полная чушь - но это ведь не обязательство, а лишь возможность. И это тоже стоит денег, соответственно - ведь есть шанс, что он станет мега-про через 10 лет, а тут вы со своим опционом :)
Думаю, суть опциона уже понятна. Остается только вопрос - как его оценить? Сколько вы готовы заплатить неизвестному мтт-шнику за возможность покупать его будущие доли? :)
Как всегда, начать проще с простого примера. Вернемся к золоту. Пусть унция золота сегодня стоит $100, а через год - с равной вероятностью (по 1/2) или 180, или 60. Вам предлагают опцион на покупку золота по цене $120 через год. Сколько он стоит? Давайте думать. Чтобы все расчеты были попроще, давайте считать, что деньги не дешевеют со временем, то есть ставка процента равна нулю. Во-первых, очевидно, что мы реализуем опцион только при цене на золото $180 (ибо зачем нам покупать его по $120, если оно стоит по $60 на рынке, правда?). То есть получается, что опцион принесет нам с вероятность 0,5 $60 (=$180-$120), и с вероятностью 0,5 принесет нам $0 (потому что не будет реализован при цене на золото в $60). Тут самые нетерпеливые воскликнут: "Ну так ежу ж понятно, цена нашего опциона: 0,5*60 + 0,5*0 = 30". Если бы все было так просто, зачем бы я тут распинался? Смотрите, идея такая: допустим, опцион бы стоил $30. Тогда любому человеку (риск-нейтральному, если лезть в детали) было бы неважно, купить опцион и получить ожидаемые $30, или оставить у себя деньги, то есть реальные $30. Так? Не так Вы забываете о том, что человек может, не купив опцион, вложить свои $30. "Но ставка процента же равна нулю, какой смысл вкладывать!". А я и не говорю вкладывать деньги в банк - я предлагаю вложить деньги в то самое золото, вокруг которого и ведется вся канитель.
Теперь та же идея, но чуть более подробно. Прием, который мы будем сейчас использовать, широко используется в финансах: чтобы вычислить стоимость какого-то финансового инструмента (не обязательно опциона), нужно его доходность просимулировать при помощи других имеющихся активов. Звучит страшно, но на деле все очень просто.
Что у нас есть?
Золото: доходность $180 в 1ом состоянии мира, $60 во 2ом.
Деньги: доходность постоянна в любом состоянии мира (напоминаю, ставка процента нулевая, то есть деньги не обесцениваются)
Опцион: доходность $60 в 1ом состоянии мира, $0 во втором.
Нам надо из золота и денег составить такой портфель, доходность которого в любом состоянии мира будет в точности такая же, как и доходность опциона. Штука в том, что если такой портфель всегда приносит столько же денег (в любом состоянии мира, что бы не случилось), то он и будет стоить столько же, сколько наш опцион - так мы и вычислим цену опциона (цену портфеля-то мы легко найдем, потому что знаем "сегодняшнюю" цену золота и денег). Допустим, мы для этого купили N унций золота и B единиц денег.
Получаем:
1ое состояние мира:
$60 (доходность опциона) = $180 * N + B (доходность нашего портфеля)
2ое состояние мира:
$0 (доходность опциона) = $60 * N + B (доходность нашего портфеля)
Ну, самое сложное позади :) Это два уравнения с двумя неизвестными, которые легко решаются. В нашем случае получаем N = 0,5, B = -$30. То есть стоимость нашего портфеля (который приносит ту же доходность, что и опцион, а значит и стоит столько же) равна: $100(цена золота сегодня) * N + B = $20.
А теперь самое вкусное, выводы
1) Помните, вначале была идея о том, что опцион стоит $30? Вы бы переплатили за него 50%, если бы купили его по этой цене - на самом деле он стоит $20.
2) Мега-важная для осознания всего процесса штука, просто взрыв мозга. Подумайте еще раз: мы построили портфель, доходность которого в любом состоянии мира такая же, как и у нашего опциона. Не ожидаемая доходность, нет. А реальная доходность. Если наступило состояние 1 - он принесет $60, ровно как и наш опцион. Если наступило состояние 2 - он тоже принесет 0. Поэтому нам абсолютно неважно, с какими вероятностями наступают состояния мира. Вначале я сказал, что они равновероятны - но при расчетах я этим нигде не воспользовался, ни разу. Если бы состояние мира с ценой в $180 наступало бы с вероятностью 0,6, а не 0,5 - ровным счетом ничего не изменилось. Выглядит как чушь, наверное :) можно еще так это объяснить: эта вероятность никак не влияет на наш портфель, а просто характеризует существующий рынок. То есть если рынок оценивает бумагу, которая дает через год 0,5*180+0,5*60 сегодня в $100 - это один рынок, а если он оценивает в $100 бумагу, которая через год даст 0,6*180+0,4*60 - это другой рынок. Но наши расчеты тут ни при чем абсолютно :)
3) Очень важная предпосылка, которой я воспользовался, но явно не оговорил. При построении портфеля нам важно, чтобы у нас было 2 (поскольку 2 состояния мира) инструмента, доходность которых меняется ровно по нашим состояниям мира (и не идентично, то есть унция золота и пол-унции золота не прокатит ). Другими словами, нам надо, чтобы вместе с изменением состояния мира менялась и доходность портфеля - причем четко, а не абы как. То есть нам не подойдет, если мы покупаем опцион на золото, в качестве инструмента брать нефть, которая в состоянии 1 стоит от $80 до $140, а в состоянии 2 - от $60 до $100. Нет, все должно быть четко разделено по состояниям мира.
4) Общая формула для тех, кому интересно
Пусть:
Е - стоимость опциона ($20 в нашем случае)
Eg - его доходность в "хорошем" состоянии ($60 в нашем случае)
Eb - его доходность в "плохом" состоянии ($0 в нашем случае)
r - ставка процента (0% в нашем случае)
u - отношение стоимостей используемого инструмента (кроме денег), "хорошая"/"сегодняшнюю" ($180/$100 = 1,8 в нашем примере)
d - отношение стоимостей используемого инструмента (кроме денег), "плохая"/"сегодняшнюю" ($60/$100 = 0,6 в нашем примере)
Тогда стоимость опциона равна:
E = (p*Eg + (1-p)*Eb)/(1 + r), где p = (1 + r - d)/(u - d)
Разбирать пример про начинающего мтт-шника уже лень, если честно :) но принцип, думаю, ясен.
P.S. Автор долго писал этот текст и ему будет приятно увидеть любые комменты, даже коротенькие "прочитал, интересно", "прочитал, скучно" и т.п.
P.P.S. Основано на лекциях С. Степанова по корпоративным финансам.
Ого! :) Я выпустился в этом году - то есть класс 2010.
А ты в РЭШке не играл в покер? А то может мы и вживую пересекались? :) я в общаге не жил и не играл, но в самой рэшке играл пару раз.
На фтп играю конечно, ник Alenkij.