О банкролл-менеджменте

Пока задача про даунстрики находится в стадии осознавания и постановки задачи, решил посчитать более простую штуку: какой банкролл нужен, чтобы играть HU-SNG.

Понятно, что ответ зависит от двух главных факторов: ROI и неподверженности манки-тилту вкупе с лудоманией. Простой тилт ладно - микротилт незримо входит в ваш ROI, уменьшая его на пару процентов, а вот когда вы начинаете пихать эни ту или идете на лимиты выше отыгрываться - тут математика бессильна. Так что этот момент мы пропустим, считая, что игрок дисциплинированный и жестко не тильтует.

Как определять свой ROI мы выяснили в прошлом посте ( https://forum.gipsyteam.online/index.php?viewtopic=22279 ). Теперь можно, учитывая оцененный ROI, вычислить банкролл, который необходим для игры на вашем лимите.

Принято считать, что для регулярных турниров, которые вы уверенно, но не запредельно бьете, 35 байинов достаточно. Для турбо - 50 байинов. Супертурбо, где ROI редко превышает 5%, требуют 100 бай-инов. Проверим эти нажитые многовековым опытом катки значения математически.

Нам понадобится Центральная Предельная Теорема - самый главный результат всей теории вероятностей, без которого бы ни статистики, ни эконометрики не существовало. Она (опустив тонкости) гласит: сумма достаточно большого количества одинаково распределенных независимых случайных величин имеет распределение, близкое к нормальному.

Таким образом:

, где

, а X(i) это не что иное, как исходы нашего HU-матча. Будем их считать в долларах США.

Здесь μ - матожидание X(i). Это та самая цифра, которая в шаркскопе стоит в колонке Average Profit,
σ - стандартное отклонение X(i), которое вычисляется по формуле σ^2 = E[X(i)^2] - μ^2,
n - количество сыгранных игр,
X(i) = - B, c вероятностью 1-p (если мы проигрываем, то теряем бай-ин),
X(i) = B - 2r, с вероятностью p (выигрыш с учетом рейка), где p - наш предполагаемый винрейт, а r может быть равен от 0.1*В на микролимитах до 0.01*В на высших лимитах супертурбо.

Прежде, чем переходить к основной формуле, посчитаем для X(i) матожидание и стандартное отклонение (да, в конкретных цифрах это сделать проще, но я проведу вычисления в общем виде, чтобы формула была унифицированной):

μ = (1-p)*(-B) + p*(B-2r) = (2p-1)*B - 2rp
σ^2 = (1-p)*B^2 + p*(B-2r)^2 - [(2p-1)*B - 2rp]^2 (упрощать не буду, тут реально проще подставить конкретные циферки)

В общем, и μ и σ однозначно определяются лимитом, на котором мы играем, рейком и винрейтом. Известные величины, короче.

Теперь к основной формуле:

Раз левая часть подчиняется при больших n стандартному нормальному распределению, то мы знаем, что с вероятностью 95% она не меньше α(0.05) = -1.65, с вероятностью 99% она не будет меньше α(0.01) = -2.33, а с вероятностью 99.9% она не будет меньше α(0.001) = -3.08. Банкролл - штука серьезная и даже вероятность проиграть его в 1% это довольно приличная вероятность, так что по умолчанию я буду пользоваться самой надежной вероятностью проигрыша банкролла, в 0.1%.

Сумму X(i) заменим выражением -k*B, где k - количество бай-инов в нашем банкролле. Эта сумма для человека с винрейтом p не может стать настолько маленькой, чтобы сделать всю дробь меньше -3.08. Вернее может, но вероятность этого меньше, чем паре королей переехать раннер-раннер каре сет тузов с флопа , меньше 0.1% если точнее. Поэтому банкролла k*B, при котором:

-k*B < μn + α(0.001)*σ*sqrt(n) для любых n, хватит.

И последнее математическое преобразование, которое нужно сделать в общем виде, прежде чем приступить к решению конкретного примера. Функция, зависящая от n, которая стоит справа, имеет минимум, который достигается в точке N* = [α(0.001)^2]*[σ^2]/[4μ^2] - здесь мы просто приравняли производную к нулю.

Эта самая N* - это, если так ее можно назвать, "пик разорения". При всех N < N* мы еще сыграли недостаточно игр, чтобы все проиграть, а при N > N* "дистанция все возвращает". "Пик разорения" зависит только от лимитов, нашего винрейта и разный для разных доверительных уровней α(j). Значит мы можем подставлять "наихудшую" N*, для всех остальных N неравенство выполнено тем более.



Задача 1.

По традиции решу задачу применительно к своим статсам. Интуитивно я ощущаю, что 10БИ мне хватит на 99% доверительном уровне. 10БИ - это максимальная просадка за всю дистанцию в 500 игр, а ведь эта просадка наступила только один раз и надо делить на вероятность, что она наступит не в какую-то случайную серию игр, а именно в начале игры, пока банкролл не успеет подрасти.

Решение:
Винрейт 63%. Лимит $10+0.5. Значит μ = 2.1, σ^2 = 93.24, σ = 9.656, N* = 50.14, -kB = μN* + α(0.001)*σ*sqrt(N*) = 105.294 - 3.08*9.656*7.081 = -105.298, значит k = 10.028


Для HU-игры с РОИ 20% достаточно 10 бай-инов.


Задача 2.

В этой задаче разберем слабоплюсовую катку. Для разнообразия возьмем супертурбо на лимите 20+0.45. Пусть человек имеет винрейт 52%, то есть его ROI = 1.7%. Какой банкролл ему нужен для этого? Правда ли, что 150 бай-инов не ошибка?

Решение:
B = 20.45
μ = 0.52*19.55 + 0.48*(-20.45) = 0.348,
σ^2 = 0.52*(19.55)^2 + 0.48*(-20.45)^2 - 0.348^2 = 399.36
σ = 19.98
N* = (3.09^2)*399.36/(4*0.348^2) = 7887.5 (ого!)
-k*B = μN* + α(0.001)*σ*sqrt(N*) => k = 134.088


Итак, получается, что даже для такой слабоплюсовой катки супертурбо с РОИ 1.7% достаточно 135 бай-инов. Да, вы можете возразить, что в супертурбо бывают огромные стрики, иногда и превышающие 100 байинов, но дело в том, что вероятность, что такой стрик постигнет вас с самого же начала гораздо меньше, чем испытать такой стрик на дистанции в 100500 турниров. По идее, к такому стрику вы должны подготовиться предыдущими успехами и ваш банкролл обязан выдержать

Я написал в Экселе калькулятор, который по входным данным (играемый лимит и РОИ) выдает необходимый банкролл. Если поиграться, то выясняется, что основной рост необходимого банкролла происходит в окрестности околонулевой катки. Если для РОИ 20% достаточно 10БИ, для 10% - 20БИ, то для каждого следующего понижения в РОИ банкролл растет в геометрической прогрессии.

И напоследок еще одно важное наблюдение: математика математикой, но вряд ли вы будете себя чувствовать спокойно, проиграв 75% банкролла, пусть и зная, что "дистанция все вернет". Поэтому во все цифры стоит закладывать психологический фактор и умножать 99%-ный уровень незалива банкролла минимум раза в полтора, а лучше в 2.

sentpim спасибо тебе за работу

KAMAZ @ 4.2.2011
sentpim спасибо тебе за работу

Пожалуйста) Надеюсь, это не конец и еще что-нибудь удастся сделать.
Комментариев, прямо скажем, маловато, но списываю это на страшные картинки.

На самом деле, без ложной скромности, этот пост гораздо круче, чем первый. Там было упражнение, которое способен сделать любой хороший студент 1-го курса матфака, а здесь все-таки кое-что поинтереснее. Думаю, обилие математики и отпугнуло. Хотя и здесь нет ничего сложного, по большому счету.

по раздачам-то каждый может свое мнение иметь и его всем высказывать, а тут быстро лоха от про отличить можно :)

Спасибо.

Единственное, хотел заметить, что рои не константа, и зависит как от нашей игры, так и от силы оппов. Встречал сведения о стриках в 20 БИ у игроков с рои 15%-18%. И речь не о тильте.

Скажем, можно представить, что на небольшой дистанции мы столкнулись с игроком, рои на которого у нас не 20%, а 8%. Залить ему все 10+ би вполне реально.

AABC @ 5.2.2011
Спасибо.

Единственное, хотел заметить, что рои не константа, и зависит как от нашей игры, так и от силы оппов. Встречал сведения о стриках в 20 БИ у игроков с рои 15%-18%. И речь не о тильте.

Скажем, можно представить, что на небольшой дистанции мы столкнулись с игроком, рои на которого у нас не 20%, а 8%. Залить ему все 10+ би вполне реально.

Зачем играть с таким игроком?)

sentpim @ 5.2.2011
Зачем играть с таким игроком?)

Скажем, из-за собственного задетого эго, из-за желания отыграться.

AABC @ 5.2.2011
Скажем, из-за собственного задетого эго, из-за желания отыграться.

Эго и покер не совместимы имхо, желание отыграться = лудоманство.

AABC @ 5.2.2011
Скажем, из-за собственного задетого эго, из-за желания отыграться.

Психологические моменты никак учесть не могу, кроме как введением Psyкэфа, равного 1.5-2.0 в зависимости от ЧСВ и склонности к лудомании.)

Расскажи, пожалуйста, о том как найти α(0.001) = -3.08? (: В смысле каким образом нашел.

Razk @ 5.2.2011
Расскажи, пожалуйста, о том как найти α(0.001) = -3.08? (: В смысле каким образом нашел.

Не обижайся, но вопрос как из того анекдота: "Сдает студент экзамен по электротехнике. Отвечает прекрасно, поражает экзаменатора своими знаниями, тот ставит ему "отлично", а потом спрашивает: - Слушайте, неужели вы действительно все так блестяще понимаете? - Да не все, - мнётся студент. - Есть у меня один неясный вопрос. Ведь переменный ток - он вот такой. (Студент чертит рукой в воздухе синусоиду) Так почему же он по прямым проводам проходит?"


http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%86%D0%B8%D0%BB%D1%8C#.D0.94.D0.B5.D1.86.D0.B8.D0.BB.D1.8C
Простыми словами: если величина распределена стандартно нормально (а по центральной предельной теореме функция от суммы наших выигрышей распределена именно так), то с вероятностью 99.9% эта величина больше -3.08. -3.08 это табличное значение. Для других процентных вероятностей значения другие. На этом рисунке хорошо проиллюстрировано: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Boxplot_vs_PDF.png, только надо учесть, что для стандартного нормального распределения σ=1, в отличие от просто нормального.

rxd @ 4.2.2011
по раздачам-то каждый может свое мнение иметь и его всем высказывать, а тут быстро лоха от про отличить можно :)

Да и по раздачам можно легко отделить зерна от плевел. Иногда люди такое пишут.

sentpim, Спасибо!(: У меня почему-то не совпало именно это значение. Видно где-то наксорезил я. (:
Даа, анекдот в тему.

Любопытно, можно ли как-нибудь посчитать продолжительность даунсвинга. Есть ли вообще ограничение на нее.

Спасибо, всегда была интересна мат составляющая, пиши еще.

Razk @ 6.2.2011
sentpim, Спасибо!(: У меня почему-то не совпало именно это значение. Видно где-то наксорезил я. (:
Даа, анекдот в тему.

А как оно может не совпасть?
Единственное, где можно ошибиться, это взять из таблицы не одностороннюю, а двустороннюю квантиль. То есть отрезать от распределения по одному проценту справа и слева, хотя надо отрезать только слева.

sentpim, планируешь ли еще какие нибудь расчеты?

KAMAZ @ 8.2.2011
sentpim, планируешь ли еще какие нибудь расчеты?

планирую)
но раз уж первые 2 поста вышли в пятницу, то и в третьем традицию нарушать не буду.

Интересные расчёты, автор молодец=)