О дисперсии

Всем привет!

Много говорится о дисперсии в применении к покеру. А все знают, почему именно она влияет на наши результаты? :) ниже простенький пример..

Мы играем в покер, и результат каждого нашего действия ("действиями" здесь я буду считать сыгранный турнир для МТТшника, сыгранную раздачу для игрока в кеш, один сыгранный ХА для ХА СНГшника, ну и т.д.) случаен. Обозначим результат нашего действия с номером i через X_i. То есть, в случае если мы играем МТТ турнир с номером i принесет нам отрицательный результат X_i (минус бай-ин), если мы не попали в ИТМ, и положительный X_i, если попали. У величины X_i есть мат. ожидание (которое мы обозначим через Е и предположим, что оно положительно, иначе нечего нам делать в покере ) и дисперсия (та самая, ага, ее мы обозначим через D).

Допустим, что мы играем N турниров/рук/ХАпов в месяц и хотим, чтобы в конце месяца у нас было что закешаутить на покушать. Допустим, хотим мы кешаутить С денег за этот месяц, и нас интересует, с какой вероятностью мы это сможем сделать. Если мы обозначим через S_N = X_1 + X_2 +...+ X_N, то интересует нас вероятность P(S_N > C).

Посчитать эту вероятность, на самом деле, практически всегда невозможно, ее нужно приближать. Для этого можно использовать Центральную Предельную Теорему (только с заглавных букв, угу ), которя гласит, что величина (S_N - NE)/ sqrt(ND) имеет примерно (смысл этого слова пояснять не будем, а то ударимся в страшные дебри) нормальное распределение с параметрами 0 и 1. Здесь sqrt обозначает квадратный корень, кстати.

Таким образом, вероятность, интересующая нас, равна P(S_N > C) = P((S_N - NE)/ sqrt(ND) > (C - NE)/ sqrt(ND)), что приближенно равно P(Z > (C - NE)/ sqrt(ND)), где Z - некоторая (универсальная) случайная величина с нормальным распределением (тут даже неважно, какое именно распределение у Z, а важно только то, что мы его знаем и оно не зависит от E, N, D и прочих параметров).

Вот здесь-то мы и видим, что чем больше дисперсия, тем меньше наша вероятность хорошо покушать. На самом деле, тут даже не дисперсия важна, а отношение E/sqrt(D), но вот если дисперсию пооптимизировать еще как-то можно, то как оптимизировать это отношение - совсем непонятно.

Зайдем еще с чуть-чуть другой стороны. Понятно, что мат. ожидание нашей прибыли за N действий равно NE. Но это не очень-то информативно, на самом деле тут нам может стать интересно следующее: а в каком промежутке будет наша прибыль со, скажем 95-процентной уверенностью?

Здесь нам снова поможет Центральная Предельная Теорема (еще раз: только с заглавных ). По ней и по некоторым свойствам нормального распределения заключаем, что S_N (как раз наша прибыль) имеет распределение, приближенно совпадающее с нормальным распределением со средним NE и стандартным отконением sqrt(ND). Еще одно свойство нормальных распределений гласит, что с вероятностью 95 процентов значения случайной величины с таким распределением лежат на расстоянии двух стандартных отклонений от среднего. Таким образом, с вероятностью примерно 95 процентов наша прибыль будет находиться в интервале от NE - 2 sqrt(ND) до NE + sqrt(ND).

Получается, что чем больше дисперсия, тем левая граница интервала "ниже", а правая - "выше", то сть, чем больше дисперсия, тем сильнее нас может куда-то "бросить"

Starik @ 19.1.2010, 21:01
Получается, что чем больше дисперсия, тем левая граница интервала "ниже", а правая - "выше", то сть, чем больше дисперсия, тем сильнее нас может куда-то "бросить"

ну это из самого определения дисперссии как бы вроде вытекает)

Aztec @ 19.1.2010, 21:42
ну это из самого определения дисперссии как бы вроде вытекает)

Ну вот потому там и смайлик соответствующий :)
Вообще все это просто, конечно, но мало ли, вдруг кто-то что-то новое почерпнет :)

Кстати, совсем забыл: чтобы это все было верным, нам нужно предполагать, что все X_i независимы, а это значит, что мы - покер-машина, не знающая тильта :)

Интересный пост, спасибо.
Я тут полгода назад (тебя тут по-моему еще не было) спрашивал насчет XYZ-анализа для турниров. Может тебе интересно будет:
https://forum.gipsyteam.online/index.php?viewtopic=141&hl=

alexoxol @ 19.1.2010, 22:59
Интересный пост, спасибо.
Я тут полгода назад (тебя тут по-моему еще не было) спрашивал насчет XYZ-анализа для турниров. Может тебе интересно будет:
https://forum.gipsyteam.online/index.php?viewtopic=141&hl=

Ага, полгода назад меня здесь еще не было.
Спасибо за ссылку, действительно интересно было бы что-то в таком духе посчитать. Я не знаю ничего про экономику :) но вроде бы дисперсию можно оценить статистически, просто кажется (статистикой никогда не занимался), что для того чтобы оценка имела хоть какие-то шансы быть более-менее точной, нужно приличное кол-во данных (сыгранных турниров)..