Groging: математика без конкретики

Линия ЕВ абсолютно адекватно показывает всё только в ХА, когда оппонентов больше, мы должны учитывать тот фактор, что они сфолдили со своими спектрами.

Например, АК против 22 на столе с фишами 90/0 (которые сфолдили, кроме одного) эквити выше, чем на другом столе, с нитами 3/3.

На пальцах - если фиш со впипом 90 сфолдил, значит у него нет туза, значит вероятность туза в колоде увеличивается. Вообще искажение ЕВ - это достаточно сложный вопрос, я пока не анализировал, как стиль игры влияет на расхождение этой линии от профита, но то, что она есть - определенно.

Кстати, предполагаю, что эта одна из причин, по которой у большинства регов ПС недоборы по ЕВ - многие из них учились по одним водам и играют по более-менее схожей стратегии - соотв. из-за искажения ЕВ тенденции будут одинаковыми.

Чем нитовей поле - тем меньше расхождение ЕВ прог от реального ЕВ, при лузовом поле - разрывы могут быть достаточно большими.

Ну да ладно, это всё конкретно я планировал исследовать позже, перейду к сути дела.

Игра по ICM - неоптимальная модель хотя бы потому, что она не учитывает блинов , ближайшего повышения блинов и связанной с ней войны таймбанков (правда это больше для донов актуально), позиции, агрессивности оппов - т.е. симуляция будущего развития розыгрыша в т.ч.
Она много что не учитывает, но даже эттих факторов уже достаточно.

А ев-то считается по ICM!

Т.е. принимая решения -EV, мы вполне можем иметь +Real_Ev
А принимая +EV решения, на самом деле принимать -EV_real решения.

Безусловно, на слово никто мне верить в этом не должен - это вполне неочевидно, поэтому будем разбирать на конкретном примере.
Распределение призов тут и далее - 50/50

Мы баттон - seat1, блины 100/100


Мы идём оллин, нас коллит ББ с 600 фишками. Рассмотрим для простоты случай с 50% эквити (искл. для простоты счета)

Воспользуемся моделью ICM, по которой и посчитается ЕВ.
Пренебрегая дележкой, получим два возможных исхода:

Ev_1=0

Посчитаем Ev_2

баттон на seat2.

Турнирная доля по ЕВ : 313,294
Сравнение по ЕВ: +85.516

Но очевидно, что у нас турнирная доля значительно меньше 398.81 , а у seat 3 соотв. значительно больше из-за блинов, наши турнирные доли не могут быть равны.
Значит, матожидание выигрыша в этой модели не совпадает с Ev_ICM.
Таким образом, данное сравнение, будучи сравнением +85 по ЕВ, по матожиданию таковым не является.


Вообще тут стоит сказать, что так определять не очень хорошо, т.к. я должен был бы посчитать и true_ev до сравнения а потом их сравнивать.
Сделаем это ;)

Определим Real_Ev как lim (n->inf) ($Winnings/n).

Реально же мы этого определить не можем, поэтому рассмотрим Near_real_Ev, которое будет определяться из следующих предположений:

а) Блайнды не растут
б) моделирование дальнейшей игры оппонентов.

Near_real_Ev_1 и Near_real_Ev_2 можно получить например, используя метод Монте-Карло (много случайных испытаний, потом вычисляется среднее, кто не знает - гуглите :) )

матожидание(mo) = (mo*eq+mo(1-eq) )/2

Матожидание_по_ICM = матожидание (ICM_EV)

Матожидание_которое_более_реально = матожидание (Near_real_ev)

И я вам гарантирую, что эти значения разные






Я знаю, что ev и мо это полные синонимы, но все так привыкли, что ев - это что-то выдаваемое прогами, что я решил разделить эти термины :)



Кстати, чтобы не пользоваться безусловно сильным аргументом "я гарантирую это!" посчитал реальное матожидание, не по строгому ICM

Real_EV_Fold = 201.9 (откуда взялись цифры - предпочту не писать, но можете быть уверены, что они не из головы взялись, это результат расчета при помощи одного громоздкого алгоритма :) )
Real_Ev_2 = 375.8

fe=0, eq=0.5

Real_+ = 86.95



Мы делаем сравнение в +86.95 , а ХМ считает, что мы сделали сравнение в +85.52

Первый из головы взявшийся пример, даёт разницу в 2%.
Можно найти реальные примеры с большей разницей.

А по мнению ХМа, мы перебрали по ЕВ на дистанции :f_cool:

А ведь это только один фактор.
Мы ещё не говорили о


а) Card Removal effect
в) повышение блинов, из-за чего турнирная доля меняется даже без изменения стеков.
Поэтому матожидание_сравнения зависит даже от времени! Сравнение произошло на секунду позже и всё, блины повысились - МО сравнения - другое.

и ещё о некоторых, безусловно, очень важных факторах, из-за которых Ev <> MO

добавлю, что эти расчеты тем актуальней, чем жеще структура.

В нетурбо фактор позиции вносит гораздо меньший вклад, чем в гипертурбо, там наш стек и стек оппонентов редко меньше 3-5 бб

Что же такое равновесие Неша?
Сразу оговорюсь, что достаточно часто распространенная мысль о том, что

nash is an equilibrium for hu play.It has blind size with and without antes and it can be breakeven when both players use nash

неверна.

Равновесие Нэша — так в теории игр называется тип решений игры двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив своё решение в одностороннем порядке, когда другие участники не меняют решения. Такая совокупность стратегий выбранных участниками и их выигрыши называются равновесием Нэша
Игра может иметь равновесие Нэша в чистых стратегиях или в [B]смешанных (то есть при выборе чистой стратегии случайно, но с фиксированной частотой (стохастическая модель) ). Нэш доказал, что если разрешить смешанные стратегии, тогда в каждой игре n игроков будет хотя бы одно равновесие Нэша.[/B]


Но истинное равновесие существовало бы лишь при игре с непрерывными спектрами.
Это невозможно, поэтому мы ограничиваемся неким приближением к равновесию Неша в дискретных спектрах.



В равновесии Неша
Наша турнирная доля (для кэш-игр турнирная доля равна стеку) до начала раздачу равна равна ожидаемой турнирной доли в конце раздачи (на блайндах ожидаемая доля, естественно, равна -блайнду)

Какие есть пути решения?
Вариант 1. Рассмотреть абсолютно все возможные спектры всех игроков.
Мощность множества возможных спектров:
52*51~=2500
Мощность множества подмножеств: 2^2500
А это, в свою очередь примерно 10^750. И это только для одного игрока!
Для 6 игроков возможных вариантов будет 10^4500!!!

А теперь мы должны взять все варианты и найти тот, в котором отклонение от 0EV у всех минимально

Например, мы можем сделать так:
1) выбираем minimal of sqrt((d1^2+d2^2+...d6^2)), where d1..dn - T$Ev_of_i_player_until_start_of_hand - T$Ev_of_i_player_AFTER_end_of_hand

Это задача исключительно для суперкомпьютеров.

Можно ещё сделать вот что:

Ввести некое множество спектров таких спектров, что каждый более широкий спектр слабее предыдущего.
Например, реально мы имеем 200 спектров(в 0%, 0.5%, 1% ... 100%)
И мы пытаемся достичь равновесия в этих спектрах

Данным путем пошли разработчики ICM Trainer
Но получаем результат мало того, что далек от равновесия, так и ещё эти псевдоНешевы спектры мало близки к реальным спектрам.
Но в общем-то, более-менее использовать можно.

Рассмотрим третий путь:

Нам нужен некий алгоритм, который позволяет приблизиться к равновесию Неша.
Почитать о нем нужно
тут
и тут(pdf)

For a good in-detail description of Fictitious Play, please refer to The Mathematics of Poker
by Chen/Ankenman. The basic idea is quite simple: Players are iteratively adjusting their
strategies, based on their opponents strategy of the last iteration. If the process converges,we found a Nash Equilibrium

Идея1.
Разобьем все спектры на пары, одномастные руки и разномастные руки (5 4 и 5 4 имеют одинаковое эквити простив нужных нам спектров)

Таким образом, всего разных комбинаций карт имеется 14*13/2+14*13/2+13=13*15=195

Составляем матрицу размером (14*13/2+14*13/2+13*13)^2=195*195

УПРОЩЕНИЕ. после трех пушей игроки игроки после могут лишь сфолдить

А теперь рассмотрим для хедзапа.

1) Подбираем некие стартовые спектры (топ-50% по версии эквилятора, например)

нынешние спектры - rangeA0 и range B0 (A,B-игроки, 0 - номер итерации)

2)Берем игрока А.
Смотрим все 351 комбинаций, какое у них ЕВ против спектра B.
ЕВ>=0 в спектре, ЕВ<0 - выкидываем
получаем rangeA1
3) Берем игрока B, смотрим все 351 комбинаций, и какое у них EV против rangeA0 (важно!!!)
получаем rangeB1
4) повторять (2) с rangeA1 и rangeB1, до получения нужного результаты (например реализовать остановку как то, что разница в спектрах между двумя соседними итерациями не превысила eps)

Пример кода для двух игроков, написано пользователем jukofyork с 2+2


// Use this to calculate the push/call matrices for a given R.
void RunFictitiousPlay(const double RRatio,const int MaxIters,const double UpdateRate,
double* PushMatrix,double* CallMatrix)
{
// These are the temp matrices that hold the final NE stratergy.
double TempPushMatrix[169];
double TempCallMatrix[169];

// Init the matrices to 0.5 for all values.
for (int I=0;I<169;I++) {
PushMatrix[I]=0.5;
CallMatrix[I]=0.5;
}

// Keep running the ficticious play for a set number of iterations.
for (int Iter=0;Iter<MaxIters;Iter++) {

// Update SB strategy...
// For each possible hand work out if it is +EV or -EV to call vs the main matrix.
for (int I=0;I<169;I++) {

// Init EV_Sum to 0 for calling with this hand.
double EV_Push=0.0;

// This is the sum of hole multiplicity values.
double NormalizationSum=0.0;

// Work out the EV vs each of the opposing hands.
for (int J=0;J<169;J++) {

// EV when we push and he dont fold.
EV_Push+=CallMatrix[J]*(double)HoleMultiplicityIfHolding[I][J]*(((2.0*RRatio*PWin[I][J])+(RRatio*PTie[I][J]))-RRatio);

// EV when we push and he folds.
EV_Push+=(1.0-CallMatrix[J])*(double)HoleMultiplicityIfHolding[I][J]*1.0;

// Keep a total of the sums so we can use to normailize after.
NormalizationSum+=(double)HoleMultiplicityIfHolding[I][J];

}

// Normalize the EV_Push value.
EV_Push/=NormalizationSum;

// If the sum of EV is +ve then we should play this hand, else we shouln\'t.
if (EV_Push>(-0.5))
TempPushMatrix[I]=1.0;
else
TempPushMatrix[I]=0.0;

}

// Update BB strategy...
// For each possible hand work out if it is +EV or -EV to call vs the main matrix.
for (int I=0;I<169;I++) {

// Init EV_Sum to 0 for calling with this hand.
double EV_Call=0.0;

// This is the sum of hole multiplicity values.
double NormalizationSum=0.0;

// Work out the EV vs each of the opposing hands.
for (int J=0;J<169;J++) {

// EV when he pushes and we call.
EV_Call+=PushMatrix[J]*(double)HoleMultiplicityIfHolding[I][J]*(((2.0*RRatio*PWin[I][J])+(RRatio*PTie[I][J]))-RRatio);

// Keep a total of the sums so we can use to normailize after.
NormalizationSum+=PushMatrix[J]*(double)HoleMultiplicityIfHolding[I][J];

}

// Normalize the EV_Push value.
EV_Call/=NormalizationSum;

// If the sum of EV is +ve then we should play this hand, else we shouln\'t.
if (EV_Call>(-1.0))
TempCallMatrix[I]=1.0;
else
TempCallMatrix[I]=0.0;

}

// Replace old with new.
for (int I=0;I<169;I++) {
PushMatrix[I]=((1.0-UpdateRate)*PushMatrix[I])+(UpdateRate*TempPushMatrix[I]);
CallMatrix[I]=((1.0-UpdateRate)*CallMatrix[I])+(UpdateRate*TempCallMatrix[I]);
//PushMatrix[I]=((1.0-w)*PushMatrix[I]) + (w*TempPushMatrix[I]); //<- True Game Theory method...
//CallMatrix[I]=((1.0-w)*CallMatrix[I]) + (w*TempCallMatrix[I]);
}

}

} // End RunFictitiousPlay.